Existe várias formas de encontrar o ip do seu raspberry-pi zero na sua rede local.

A mais fácil e instalar o avahi-utils no raspberry-pi.

No raspberry-pi edite o arquivo:

Adicione ou edite para "yes" as seguintes linhas:

Reinicie o serviço

Instale o avahi-utils no seu Linux (Exemplo Ubuntu)

Para enncontar ip do raspberry-pi zero na rede local.

Vai aparecer uma lista com os hostname encontrados.

Use o hostname para acessar o seu raspberry-pi zero em vez do ip. :)

Para acessar o seu raspberry-pi via ssh sem ter de inserir a palavra passe, basta criar um par de chaves.

Crie as chaves na maquina local que vai acessar o raspberry-pi

A chave privada é guardada em /home/USER/.ssh/id_rsa.

E a chave pública em /home/USER/.ssh/id_rsa.pub.

Agora é só usar o ssh-copy-id para copiar a chave publica para o raspberry-pi

Agora quando acessar via ssh ele não pede mais a palavra passe e a ligação continua segura :)